3

3.4. Трехмерные геометрические преобразования

Далее при рассмотрении трехмерных преобразований, в основном, используется общепринятая в векторной алгебре правая система координат (рис. а). При этом, если смотреть со стороны положительной полуоси в центр координат, то поворот на +90^° (против часовой стрелки) переводит одну положительную ось в другую (направление движения расположенного вдоль оси и поворачивающегося против часовой стрелки правого винта и положительной полуоси совпадают). В некоторых, специально оговариваемых случаях, используется левая система координат (см. рис. б). В левой системе координат положительными будут повороты по часовой стрелке, если смотреть с положительного конца полуоси. В трехмерной машинной графике более удобной является левая система координат. Тогда если, например, поверхность экрана совмещена с плоскостью XY, то большим удалениям от наблюдателя соответствуют точки с большим значением Z (см. рис. б).

Работа с однородными трехмерными координатами и матрицами преобразования (формирование и композиция) подобна таковой для двумерного случая, поэтому здесь будут рассмотрены только матрицы преобразований сдвига, масштабирования и поворота и пример конструирования матрицы преобразования по известному его результату.

Подобно тому как в двумерном случае точка в однородных координатах представляется трехмерным вектором [ X Y W ], а матрицы преобразований имеют размер 3×3, для трехмерного случая точка представляется четырехмерным вектором [ X Y Z W ], где W не равно 0, а матрицы преобразований имеют размер 4×4.

Формулы для преобразования:

Если W не равно 1, то декартовые координаты точки (x,y,z) получаются из соотношения:

[ x y z 1 ] = [ (X/W) (Y/W) (Z/W) 1 ].

Параллельный перенос:

Р` = Р∙Т;

1 0 0 0

Где Т =

0 1 0 0 - матрица переноса

0 0 1 0
Tx Ty Tz 1

Масштабирование:

Р` = Р∙S;

Sx 0 0 0

S =

0 Sy 0 0 , S – матрица

0 0 Sz 0
0 0 0 1

Поворот:

При повороте в 3-х мерном пространстве существует 3 поворота вокруг каждой из осей.

Кроме того, существует 2 системы координат: правая и левая.

Для обеих систем:

Х: Y→Z

Y: Z→X

Z: X→Y

Ранее рассмотренная для двумерного случая матрица поворота является в то же время трехмерным поворотом вокруг оси Z. Так как при трехмерном повороте вокруг оси Z (поворот в плоскости XY) размеры вдоль оси Z неизменны, то все элементы третьей строки и третьего столбца равны 0, кроме диагонального, равного 1:

Rz(f_z) =	cosf_z	sinf_z	0	0	.
	-sinf_z	cosf_z	0	0
	0	0	1	0
	0	0	0	1

При повороте вокруг оси X (в плоскости YZ) размеры вдоль оси X не меняются, поэтому все элементы первой строки и первого столбца равны 0, за исключением диагонального, равного 1:

Rx(f_x) =	1	0	0	0	.
	0	cosf_x	sinf_x	0
	0	-sinf_x	cosf_x	0
	0	0	0	1

При повороте вокруг оси Y (в плоскости XZ) размеры вдоль оси Y не меняются, поэтому все элементы второй строки и второго столбца равны 0, за исключением диагонального, равного 1:

Ry(f_y) =	cosf_y	0	-sinf_y	0	.
	0	1	0	0
	sinf_y	0	cosf_y	0
	0	0	0	1

В общем случае любой поворот в пространстве может быть описан с помощью некоторых комбинаций этих трех поворотов. Причём повороты не обладают свойством коммутативности:

R_X∙ R_Y ∙ R_Z ≠ R_Z ∙ R_X ∙ R_Y_.

Любой произвольный поворот может быть представлен 6 сочетаниями элементарных поворотов. Причем в каждом случае будут свои углы (за исключением вырожденных ситуаций).

P` = P ∙ R, где R – матрица поворотов.

P` = [X`, Y`, Z`, 1];

P = [X, Y, Z, 1];

Элементы R – косинусы соответствующих углов.

a₁ a₂ a₃ 0 cos(XOX`) cos(XOY`) cos(XOZ`) 0

==

R =

b₁ b₂ b₃ 0 cos(YOX’) cos(YOY’) cos(YOZ’) 0

c₁ c₂ c₃ 0 cos(ZOX’) cos(ZOY’) cos(ZOZ’) 0

0 0 0 1 0 0 0 1

Элементы матрицы R можно также рассматривать в виде векторов:

`i, `j, `k – это вектора единичной длины.

`N_{1 =}`i ·a₁ +`j ·b₁ +`k·c₁`M_1
=`i ·a₁ +`j ·a₂ +`k·a₃
`N_2
=`i ·a₂ +`j ·b₂ +`k·c₂`M_2
=`i ·b₁+`j ·b₂ +`k·b₃
`N_3
=`i ·a₃ +`j ·b₃ +`k·c₃`M_3
=`i ·c₁ +`j ·c₂ +`k·c₃