16.7. Теоретико-числовые преобразования

 

1, при n= 0, N 1, если иначе

Решаем уравнения  

 

aⁿ =

 

Могут быть найдены решения в кольце целых чисел по модулю M.

 

Например, рассмотрим кольцо по модулю 5, т. е. работаем только с числами 0, 1, 2, 3, 4.

M=5

 

Могут быть определены все арифметические операции и результаты, не выходящие за пределы кольца целых чисел.

Пояснение Например если мы выполняем сложение 3+3 =6. То в этой таблице на пересечении соответствующей строки и соответствующего столбца будет 1. Это объясняется тем , что результат сложения делится на модуль (в данном случае =5.) и остаток этого деления заносится в таблицу.(в данном случае остаток =1)

Например, таблица для сложения:

 

+	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

 

 

Рассмотрим функцию Эйлера:

Функция Эйлера - равна количеству чисел, меньших M и не имеющих с ним общих множителей. Следовательно, функция Эйлера от простого числа будет равна самому этому числу минус 1, т.е.

 

j(q1;q2) = j(q1) ∙ j(q2) – фундаментальное значение в теории чисел.

 

 

Теорема Ферма-Эйлера.

 

В кольце целых чисел всегда существует такое основание a, при котором:

Если a,M не имеют общих множителей.

(a,M) =1            наибольший общий делитель =1.

Тогда имеет место соотношение :

(mod M)

a — основание, M — модуль, N — количество отсчетов.

Следствие

1. Если число M— простое, то  

Известно N, надо найти M.

a^N = a^j(M) = 1  - не всякое число M может являться решением данного уравнения.

 aⁿ =1, если n-делитель .

 

Теорема Ферма-Эйлера –2

В кольце целых чисел по модулю M всегда найдутся числа a,M такие, что

  a^N  = 1 по mod M.

  a^n=N=1 по mod M. 

N – это делитель .

Если число- то любой делитель =N.

	возьмём для частного случая

 

 

P – простое число, a — степень

Если  n=2^q ,  то число является простым

2ⁿ +1 = 2^r +1 –числа Ферма.

 где r = 2^q

 

 - числа Ферма.

Числа являются простыми не для любого q.

На сегодняшний день известны значения q=0,1,2,3,4.

 

 

 

 

	a – удовлетворяющее данным условиям.

 

 

 

Пересчитаем основание a:

N’ = ;

 

(a’)^N = 1            (a’)^N/2a = 1             a’ = a^z , где  z=2^a.

Если изображение имеет размер 1024 * 1024 пиксела, то

M = 65537 ; a=3 ; N = 65536.

 

Достоинства и недостатки методов:

 

Фурье.

Недостатки: используем комплексные числа, числа все иррационные, нет возможности использовать для малой разрядной сетки.

 

Достоинства: работа в традиционной арифметике, коэффициенты Фурье имеют простой физический смысл.

 

Теоретико-числовые преобразования:

Недостатки: арифметика по модулю M, коэффициенты носят абстрактный характер.

 

Достоинства: вся работа с целыми числами, маленькая разрядная сетка (17 разрядов).

 

Существуют быстрые алгоритмы взятия линейного преобразования:

Выигрыш может быть получен при использовании метода быстрых теоретико-числовых преобразований. Этот метод наиболее эффективен, если число отсчетов

Схема одномерного преобразования:

 

Нарисуем для n=4:

 

Количество ступеней для числа n —

Число выходов на каждой ступени – 2N.

Вернемся к схеме преобразования:

Пренебрегаем данной сложностью. Всего N строк, на каждой строке , всего

Сложность прямого преобразования

Сложность быстрого преобразования:

, где k — коэффициент сложности

Рассмотрим случай, когда .

Т. е.

Например, N=512, k=3